数学试题_湖南省长郡中学2025届模拟试卷（二）

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已知点D(4,m)在抛物线2：x2=8y上，点A为圆C:x2+(y一2)2=产(0<r<4)上任意一点， 且|AD的最小值为3，则圆C的半径r为 A.1 B.2 C.3 D.4 已知函数f(x)=lnx十x-,若fa)+f(b)=0,则a2十的最小值为 A.1 B.2 C.√② D.22 、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 已知随机变量X服从正态分布，即X一N(3,9),则 A.E(X)=27 B.D(X)=9 C.P(X≥8)>P(X≤-1) D.P(X≤1)+P(X≤5)=1 0.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcos A=acos C十ccos A,b=4,边BC的中线 AD=√万，则下列结论正确的有 A.A- B.AB.AC=8 C.△ABC的而积为23 D.△ABC的外接圆的面积为4元 1.已知函数f(x)=a2一logx(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则下列选项中正确的是 A当a=4时，若f)<0在区间(0，]恒成立，则实数6的取值范围为受，) B.当a=b=e(e为自然对数的底数)时，f(x)的最小值为2 C.当a=,b=e(e为自然对数的底数)时，若f(x)≥(1一)x恒成立，则实数入的最小值为】 D.当a=b时，若函数f(x)有两个不同的零点，则实数a的取值范围为(1，e) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 2,(x≥0)， 2.已知函数f(x)= x+2,(x<0), 若f(a)=4,则a= 3.某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行.文科组和理科组分别有4 位和5位教师参赛.根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖， 其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）.则最终的可能比赛 结果共有 种。 4已知双曲线C:号-苦-1a>0,6>0)的右焦点为F,以OF(0为坐标原点)为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P,若引OP=√2b,则双曲线C的离心率为 四、解答题（本大题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军。已知甲学校在三个项目中获 胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立 (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望， 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，PA= AD=6,点N为棱PD的中点，点E在棱AD上，AD=3AE. (1)求证：PCLAN: (2)已知平面PAB与平面PCD的交线！与直线BE所成角的正切值 为受，求二面角N-BE-D的余弦值。